x²+px+q আকারের রাশির উৎপাদক (৪.৫)

অষ্টম শ্রেণি (মাধ্যমিক ২০২৫) - গণিত বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও প্রয়োগ | - | NCTB BOOK

310

আমরা জানি,

$x^{2} + (a + b) x + a b = (x + a) (x + b)$ । এই সূত্রটির বামপাশের রাশির সাথে

$x^{2} + p x + q$ এর তুলনা করলে দেখা যায় যে, উভয় রাশিতেই তিনটি পদ আছে, প্রথম পদটি

$x^{2}$ ও এর সহগ 1 (এক), দ্বিতীয় বা মধ্য পদটিতে

$x$ আছে যার সহগ যথাক্রমে

$(a + b)$ ও

$q$ আছে। তৃতীয় পদটি

$x$ বর্জিত, যেখানে যথাক্রমে

$a b$ ও

$q$ আছে।

$x^{2} + (a + b) x + a b$ এর দুইটি উৎপাদক। অতএব, $x^{2} + p x + q$ এরও দুইটি উৎপাদক হবে।

মনে করি, $x^{2} + p x + q$ এর উৎপাদক দুইটি $(x + a), (x + b)$

সুতরাং, $x^{2} + p x + q = (x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b$

তাহলে, $p = a + b$ এবং $q = a b$

এখন, $x^{2} + p x + q$ এর উৎপাদক নির্ণয় করতে হলে, $q$ কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্রকাশ করতে হবে যার বীজগণিতীয় সমষ্টি $p$ হয়। এই প্রক্রিয়াকে মধ্যপদ বিভাজন (Middle term breakup) বলে। $x^{2} + 7 x + 12$ রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে $12$ কে এমন দুইটি উৎপাদকে প্ৰকাশ করতে হবে যার সমষ্টি $7$ এবং গুণফল 12 হয়। $12$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াসমূহ $1, 12, 2, 6$ ও $3, 4$ । এদের মধ্যে $3, 4$ জোড়াটির সমষ্টি $(3 + 4) = 7$ এবং গুণফল $3 \times 4 = 12$

$∴ x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4)$

মন্তব্য : প্রতিক্ষেত্রে $p$ ও $q$ উভয়ই ধনাত্মক বিবেচনা করে, $x^{2} + p x + q, x^{2} - p x + q, x^{2} + p x - q$ এবং $x^{2} - p x - q$ আকারের রাশির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে, প্রথম ও দ্বিতীয় রাশিতে $q$ ধনাত্মক হওয়াতে $q$ এর উৎপাদক দুইটি একই চিহ্নযুক্ত রাশি অর্থাৎ, উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়ই ঋণাত্মক হবে। এক্ষেত্রে, $p$ ধনাত্মক হলে, $q$ এর উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক হবে, আর $p$ ঋণাত্মক হলে, $q$ এর উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক হবে।

তৃতীয় ও চতুর্থ আকারের রাশিতে $q$ ঋণাত্মক অর্থাৎ, $(- q)$ হওয়াতে $q$ এর উৎপাদক দুইটি বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে এবং $p$ ধনাত্মক হলে, উৎপাদক দুইটির ধনাত্মক সংখ্যাটি ঋণাত্মক সংখ্যাটির পরম মান থেকে বড় হবে। আর $p$ ঋণাত্মক হলে, উৎপাদক দুইটির ঋণাত্মক সংখ্যার পরম মান ধনাত্মক সংখ্যা থেকে বড় হবে।

উদাহরণ ৩। $x^{2} + 5 x + 6$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি ধনাত্মক সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে, যাদের সমষ্টি $5$ এবং গুণফল $6$ । $6$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছে $1, 6$ ও $2, 3$

এদের মধ্যে $2, 3$ জোড়াটির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $2 + 3 = 5$ এর গুণফল $2 x 3 = 6$

$∴ x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + 2 x + 3 x + 6$

$= x (x + 2) + 3 (x + 2)$

$= (x + 2) (x + 3)$

উদাহরণ ৪। $x^{2} - 15 x + 54$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যাদের সমষ্টি $- 15$ এবং গুণফল $54$ । এখানে দুইটি - সংখ্যার সমষ্টি ঋণাত্মক, কিন্তু গুণফল ধনাত্মক। কাজেই, সংখ্যা দুইটি উভয়ই ঋণাত্মক হবে। $54$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছ $- 1, - 54, - 2, - 27, - 3, - 18, - 6, - 9$ । এদের মধ্যে $- 6, - 9$ এর সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $= - 6 - 9 = - 15$ এবং এদের গুণফল $= (- 6) \times (- 9) = 54$

$x^{2} - 15 x + 54 = x^{2} - 6 x - 9 x + 54$

$= x (x - 6) - 9 (x - 6)$

$= (x - 6) (x - 9)$

উদাহরণ ৫। $x^{2} + 2 x - 15$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যাদের সমষ্টি $2$ এবং গুণফল $(- 15)$ । এখানে দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ধনাত্মক, কিন্তু গুণফল ঋণাত্মক। কাজেই, সংখ্যা দুইটির মধ্যে যে সংখ্যার পরম মান বড় সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক, আর যে সংখ্যার পরম মান ছোট সে সংখ্যাটি ঋণাত্মক হবে। $(- 15)$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছে $(- 1, 15)$ ও $(- 3, 5)$

এদের মধ্যে $- 3, 5$ এর সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $= - 3 + 5 = 2$

$∴ x^{2} + 2 x - 15 = x + 5 x - 3 x - 15$

$= x (x + 5) - 3 (x + 5)$

$= (x + 5) (x - 3)$

উদাহরণ ৬। $x^{2} - 3 x - 28$ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।

সমাধান : এমন দুইটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যাদের সমষ্টি $(- 3)$ এবং গুণফল $(- 28)$ । এখানে দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ঋণাত্মক এবং গুণফল ঋণাত্মক, কাজেই সংখ্যা দুইটির মধ্যে যে সংখ্যার পরম মান বড় সেই সংখ্যাটি ঋণাত্মক, আর যে সংখ্যাটির পরম মান ছোট সেই সংখ্যাটি ধনাত্মক হবে। $(- 28)$ এর সম্ভাব্য উৎপাদক জোড়াগুলো হচ্ছে, $- 1, 28; 2 - 14$ ও $4 - 7$ । এদের মধ্যে $4, 7$ এর সংখ্যাগুলোর সমষ্টি $= - 7 + 4 = - 3$

$∴ x^{2} - 3 x - 28 = x^{2} - 7 x + 4 x - 28$

$= x (x - 7) + 4 (x - 7)$

$= (x - 7) (x + 4)$

কাজ : উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর : $১ । x 2 - 18 x + 72$ $2 । x^{2} - 9 x - 36$ $৩ । x^{2} - 23 x + 132$

common.content_added_and_updated_by

Rezwan Siddiki Tamim

বীজগণিতীয় সূত্রাবলি অনুশীলনী ৪.১ ঘনফলের সূত্রাবলি ও অনুসিদ্ধান্ত ঘনফলের সাথে সম্পৃক্ত আরও দুইটি সূত্র অনুশীলনী ৪.২

0 of 0

array:20 [▼"x-https" => array:1 [▶ 0 => "1" ] "sec-fetch-dest" => array:1 [▶ 0 => "document" ] "sec-fetch-user" => array:1 [▶ 0 => "?1" ] "sec-fetch-mode" => array:1 [▶ 0 => "navigate" ] "sec-fetch-site" => array:1 [▶ 0 => "none" ] "accept" => array:1 [▶ 0 => "text/html,application/xhtml+xml,application/xml;q=0.9,image/avif,image/webp,image/apng,*/*;q=0.8,application/signed-exchange;v=b3;q=0.7" ] "user-agent" => array:1 [▶ 0 => "Mozilla/5.0 AppleWebKit/537.36 (KHTML, like Gecko; compatible; ClaudeBot/1.0; +claudebot@anthropic.com)" ] "upgrade-insecure-requests" => array:1 [▶ 0 => "1" ] "sec-ch-ua-platform" => array:1 [▶ 0 => ""Windows"" ] "sec-ch-ua-mobile" => array:1 [▶ 0 => "?0" ] "sec-ch-ua" => array:1 [▶ 0 => ""HeadlessChrome";v="129", "Not=A?Brand";v="8", "Chromium";v="129"" ] "cache-control" => array:1 [▶ 0 => "no-cache" ] "pragma" => array:1 [▶ 0 => "no-cache" ] "x-real-ip" => array:1 [▶ 0 => "3.135.185.223" ] "x-forwarded-server" => array:1 [▶ 0 => "debugerror.xyz" ] "x-forwarded-proto" => array:1 [▶ 0 => "https" ] "x-forwarded-port" => array:1 [▶ 0 => "443" ] "x-forwarded-host" => array:1 [▶ 0 => "debugerror.xyz" ] "x-forwarded-for" => array:1 [▶ 0 => "3.135.185.223" ] "host" => array:1 [▶ 0 => "debugerror.xyz" ]]

0 of 0

array:7 [▼"content-type" => array:1 [▶ 0 => "text/html; charset=UTF-8" ] "cache-control" => array:1 [▶ 0 => "no-cache, private" ] "date" => array:1 [▶ 0 => "Wed, 09 Apr 2025 08:45:49 GMT" ] "x-ratelimit-limit" => array:1 [▶ 0 => "60" ] "x-ratelimit-remaining" => array:1 [▶ 0 => "57" ] "set-cookie" => array:2 [▶ 0 => "XSRF-TOKEN=eyJpdiI6Iklpc0FWcjkyeUkzVjlvYlRSdTZnaXc9PSIsInZhbHVlIjoiMFJmK09ZNXRNWGhBck5ERnBEQkRGdTRSdmxoRGZHc1czdEtoRmJkUVJpR1d1YXFPeENCTWpKZnJHSElUc0FwemxEQXpsdEVpc2duZGQyZjdUSDc0d0RFSW02ZzAvNWR0QzJ1eWdITlFjYlFyMFBjdHBEc1VLT1NMblFsTkFQUHQiLCJtYWMiOiI3NDgzNjQ1NGRjMTEyODczMzYxMTczM2MyMzZjYjVjYTE2YjYzNzQ5NjdmYjEwZTBmM2M4Yjc4MWQ2ZTBlYmYxIiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10 Apr 2025 08:45:49 GMT; Max-Age=86400; path=/; secure ◀XSRF-TOKEN=eyJpdiI6Iklpc0FWcjkyeUkzVjlvYlRSdTZnaXc9PSIsInZhbHVlIjoiMFJmK09ZNXRNWGhBck5ERnBEQkRGdTRSdmxoRGZHc1czdEtoRmJkUVJpR1d1YXFPeENCTWpKZnJHSElUc0FwemxEQXpsd ▶" 1 => "satt_academy_session=eyJpdiI6IjNxUDE0STJlTmttUm1HOE55Vmoxa1E9PSIsInZhbHVlIjoiSTFhZ3BGU1FTYnRudmNEUXlhODZ4ME14UWpDRk9zZzkxblRyZ29KZlcycW9sc2JmeVY1ZDUwRVdIek1XOFpoNHY1QjcvVFIyRzJrdjNheE45dEQ1SUtXdHJxVFpmOHNyU2g1MDIyeWQ4ekF4Rlh5cHMxZjNOeFNuZ2JFNGRDQ2EiLCJtYWMiOiJmOTRlNWIyMTk5MTZkYjlhZDdmMzdkZTgzZTBjY2RlZTI1NzkyMjliNWE1NTM5NWM0OWU2ZjVmYTM3NzgxN2I3IiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10 Apr 2025 08:45:49 GMT; Max-Age=86400; path=/; secure; httponly ◀satt_academy_session=eyJpdiI6IjNxUDE0STJlTmttUm1HOE55Vmoxa1E9PSIsInZhbHVlIjoiSTFhZ3BGU1FTYnRudmNEUXlhODZ4ME14UWpDRk9zZzkxblRyZ29KZlcycW9sc2JmeVY1ZDUwRVdIek1XOFp ▶" ] "Set-Cookie" => array:2 [▶ 0 => "XSRF-TOKEN=eyJpdiI6Iklpc0FWcjkyeUkzVjlvYlRSdTZnaXc9PSIsInZhbHVlIjoiMFJmK09ZNXRNWGhBck5ERnBEQkRGdTRSdmxoRGZHc1czdEtoRmJkUVJpR1d1YXFPeENCTWpKZnJHSElUc0FwemxEQXpsdEVpc2duZGQyZjdUSDc0d0RFSW02ZzAvNWR0QzJ1eWdITlFjYlFyMFBjdHBEc1VLT1NMblFsTkFQUHQiLCJtYWMiOiI3NDgzNjQ1NGRjMTEyODczMzYxMTczM2MyMzZjYjVjYTE2YjYzNzQ5NjdmYjEwZTBmM2M4Yjc4MWQ2ZTBlYmYxIiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10-Apr-2025 08:45:49 GMT; path=/; secure ◀XSRF-TOKEN=eyJpdiI6Iklpc0FWcjkyeUkzVjlvYlRSdTZnaXc9PSIsInZhbHVlIjoiMFJmK09ZNXRNWGhBck5ERnBEQkRGdTRSdmxoRGZHc1czdEtoRmJkUVJpR1d1YXFPeENCTWpKZnJHSElUc0FwemxEQXpsd ▶" 1 => "satt_academy_session=eyJpdiI6IjNxUDE0STJlTmttUm1HOE55Vmoxa1E9PSIsInZhbHVlIjoiSTFhZ3BGU1FTYnRudmNEUXlhODZ4ME14UWpDRk9zZzkxblRyZ29KZlcycW9sc2JmeVY1ZDUwRVdIek1XOFpoNHY1QjcvVFIyRzJrdjNheE45dEQ1SUtXdHJxVFpmOHNyU2g1MDIyeWQ4ekF4Rlh5cHMxZjNOeFNuZ2JFNGRDQ2EiLCJtYWMiOiJmOTRlNWIyMTk5MTZkYjlhZDdmMzdkZTgzZTBjY2RlZTI1NzkyMjliNWE1NTM5NWM0OWU2ZjVmYTM3NzgxN2I3IiwidGFnIjoiIn0%3D; expires=Thu, 10-Apr-2025 08:45:49 GMT; path=/; secure; httponly ◀satt_academy_session=eyJpdiI6IjNxUDE0STJlTmttUm1HOE55Vmoxa1E9PSIsInZhbHVlIjoiSTFhZ3BGU1FTYnRudmNEUXlhODZ4ME14UWpDRk9zZzkxblRyZ29KZlcycW9sc2JmeVY1ZDUwRVdIek1XOFp ▶" ]]

0 of 0

array:3 [▼"_token" => "A5uLnvdzeeOihodReckJ8ypRYD5C162SD96gtQuf" "_previous" => array:1 [▶ "url" => "https://debugerror.xyz/academy/xpxq-%E0%A6%86%E0%A6%95%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0-%E0%A6%89%E0%A7%8E%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A6%E0%A6%95 ◀https://debugerror.xyz/academy/xpxq-%E0%A6%86%E0%A6%95%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0-%E0%A6%89%E0%A7%8E%E0%A ▶" ] "_flash" => array:2 [▶ "old" => [] "new" => [] ]]

	Date ↕	Method	URL	Data
#1	2025-04-09 14:45:49	GET	/academy/xpxq-%E0%A6%86%E0%A6%95%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0-%E0%A6%89%E0%A7%8E%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A6%E0%A6%95	49 21 114

Date ↕

Method

URL

Data

2025-04-09 14:45:49

GET

/academy/xpxq-%E0%A6%86%E0%A6%95%E0%A6%BE%E0%A6%B0%E0%A7%87%E0%A6%B0-%E0%A6%B0%E0%A6%BE%E0%A6%B6%E0%A6%BF%E0%A6%B0-%E0%A6%89%E0%A7%8E%E0%A6%AA%E0%A6%BE%E0%A6%A6%E0%A6%95

49 21 114

1 x Application (66.7%)	63.24ms
1 x Booting (33.3%)	31.57ms

Bindings	0: xpxq-আকারের-রাশির-উৎপাদক
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:94 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453 app/Repositories/SubjectRepository.php:91 app/Services/SubjectService.php:32

Bindings	0: 2025-04-09 14:45:49 1: 14014
Backtrace	app/Services/SubjectService.php:43 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Route.php:266

Bindings	0: 14014
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:38 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:60 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:235 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:227 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305

Bindings	0: 39683 1: 39684
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:285 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: App\Models\Subject
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:285 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: App\Models\Question 1: active
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:285 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: 39684 1: 14014
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:125 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453 app/Repositories/SubjectRepository.php:121 app/Services/SubjectService.php:60

Bindings	0: 7875
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:140 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453 app/Repositories/SubjectRepository.php:136 app/Services/SubjectService.php:61

Bindings	0: 7527
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:38 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:60 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:235 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:227 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305

Bindings	0: 39615 1: 39812
Backtrace	vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:305 vendor/kalnoy/nestedset/src/QueryBuilder.php:321 app/Repositories/SubjectRepository.php:293 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/Repository.php:427 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Cache/CacheManager.php:453

Bindings	0: App\Models\Subject 1: 14014
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:325 app/Services/SubjectService.php:76 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44

Bindings	0: 0 1: youtube
Backtrace	app/Repositories/SubjectRepository.php:340 app/Services/SubjectService.php:77 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44

Bindings	0: 14014 1: 7875 2: 2
Backtrace	app/Services/SubjectService.php:82 app/Http/Controllers/Academy/SubjectController.php:105 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Controller.php:54 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/ControllerDispatcher.php:44 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Routing/Route.php:266

Bindings	0: active
Backtrace	view::includes.restrict:30 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/Filesystem/Filesystem.php:124 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/PhpEngine.php:58 vendor/livewire/livewire/src/Mechanisms/ExtendBlade/ExtendedCompilerEngine.php:22 vendor/laravel/framework/src/Illuminate/View/Engines/CompilerEngine.php:75

x²+px+q আকারের রাশির উৎপাদক (৪.৫)

স্যাট অ্যাকাডেমী অ্যাপ

All Notifications

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisicing elit. Eaque, officia!

Promotion